Funkcje

Poziom: gimnazjum

Zamieszczamy w naszym „Samouczku” kolejny temat, jakim są funkcje. Omawiamy najpierw ogólne pojęcie funkcji a następnie koncentrujemy się na funkcji liniowej. Wprowadzamy pojęcie układu kartezjańskiego i wykorzystujemy go do rysowania wykresów funkcji. Cały cykl zawiera 12 odcinków. Dotyczy podstawowych wiadomości o funkcjach  ale poprzez odpowiednie przykłady  wprowadzamy ucznia na trochę wyższy poziom, np.  pokazując istnienie funkcji nieliniowych.

Większość z odcinków w tym cyklu jest dość długa ( ponad 10 min). Ponieważ jednak jest to głównie prezentowanie i omawianie różnych przykładów, można swobodnie dzielić odcinki na części. Niezwykle istotne w tym cyklu jest wciągnięcie uczniów w wymyślanie i prezentowanie własnych przykładów, rysowanie różnych wykresów, znajdowanie wzorów funkcji  mając dany wykres funkcji (dla funkcji liniowych), samodzielne odkrywanie różnych własności funkcji  lub tworzenie różnych rysunków w układzie współrzędnych, posługując się matematycznymi określeniami funkcji.

Odcinek 1. Pojęcie funkcji

Wprowadzamy pojęcie funkcji, jako specjalnego przyporządkowania  między dwoma zbiorami. Zaczynamy od przykładów nie matematycznych. Wprowadzamy przedstawienie graficzne funkcji Byłoby wskazane, aby uczniowie sami podawali przykłady różnych zbiorów i ustalali  przyporządkowania , sprawdzając, czy są one funkcjami.

Odcinek 2. Przykłady funkcji

Cały odcinek poświęcony jest przykładom różnych funkcji określonych na zbiorach skończonych i przedstawianych przez opis lub graficznie. Podajemy przykłady funkcji ze zbioru A w zbiór B, które   można odwrócić ( czyli 1-1) i takie, które ze zbioru B w A zamieniają się w przyporządkowania niefunkcyjne. Jest istotne, aby uczniowie uchwycili tę różnicę. Jak zwykle, wielość własnych, uczniowskich przykładów pogłębi zrozumienie pojęcia funkcji.

Odcinek 3. Przykłady matematycznych funkcji

Przechodzimy do przykładów z zakresu matematyki. Rozpoczynamy od przykładów funkcji określonych na zbiorze liczb naturalnych, wprowadzamy pojęcia zbioru argumentów  i zbioru wartości. Uczniowie mogliby sami określić dla zbioru 4-elementowego ( np. {1,2,3,4} → {1,2,3,4} wszystkie możliwe funkcje. Wygodnie jest w takich przykładach stosować przedstawienie graficzne.

Odcinek 4. Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji

Wprowadzamy pojęcia dziedziny i przeciwdziedziny. Pokazujemy na przykładach  różnicę między przeciwdziedziną a zbiorem wartości. Przykłady dotyczą dziedziny liczb naturalnych oraz figur geometrycznych. Tu mamy bardzo duże pole dla inwencji uczniów w wymyślaniu przykładów.

Odcinek 5. Dziedzina,  przeciwdziedzina funkcji i zbiór wartości

Pokazujemy na przykładach zależność funkcji od dziedziny. Pokazujemy jak zmienia się zbiór wartości, jeśli zmienimy dziedzinę funkcji.

Odcinek 6. Różne sposoby przedstawiania funkcji

Omawiamy na jak różne sposoby można przedstawić funkcję. Dodajemy sposób przedstawiania funkcji tabelką, w której mamy x- argument i y – wartość funkcji. Powiązujemy przedstawienie tabelką z przedstawieniem graficznym. Wprowadzamy przedstawienie funkcji wzorem.

Odcinek 7. Układ kartezjański

Ten filmik zaczynamy stroną z Wikipedii o Kartezjuszu. Proponujemy uczniom, aby sami poszukali w  internecie ( np. w Wikipedii) wiadomości o życiu i działalności Kartezjusza. Pokazujemy kilka przykładów zaznaczania punktów lub figur w układzie kartezjańskim.

Odcinek 8a, 8b. Wykresy funkcji w układzie kartezjańskim

Rozpoczynając od zadania funkcji tabelką przechodzimy do zaznaczenia wykresu punktowego w układzie kartezjańskim. Pokazujemy, jak zmienia się wykres, jeśli zmienimy dziedzinę funkcji. Dziedzinę liczb naturalnych rozszerzamy do liczb całkowitych, następnie do liczb na całej osi, ( czyli do zbioru R).    W wielu przykładach przechodzimy do wykresów liniowych. Odcinek ten z uwagi na sporą liczbę przykładów został podzielony na dwie części- odcinek 8a i odcinek 8b.

Odcinek 9. Wykresy funkcji

Pozostajemy w zakresie przykładów funkcji liniowych rosnących  o tym samym współczynniku, typu y = x+2, y = x-5. Wskazujemy na równoległość takich prostych. Określamy słownie  co to jest funkcja rosnąca.

Odcinek 10. Funkcje rosnące i funkcje malejące

Przywołujemy przykłady funkcji rosnących i zapisujemy matematycznie własność, jaką muszą spełniać funkcje rosnące. Posługując się przykładami budujemy określenie funkcji malejących i zapisujemy je językiem matematycznym. Pokazujemy przykład funkcji stałej.

Odcinek 11. Funkcje liniowe

W tym filmiku wprowadzamy nazwę funkcji liniowej i wprowadzamy zapis f(x) = ax + b. Przypominamy poznane już własności funkcji liniowej. Pokazujemy na przykładach, za co na wykresie odpowiada współczynnik a oraz b. Wprowadzamy pojęcie miejsca zerowego.  Przypominamy, że do narysowania prostej wystarczą dwa punkty i pokazujemy na przykładzie, że aby narysować wykres najlepiej wziąć jeden punkt (0,b)  a drugi dający się łatwo  zaznaczyć  w układzie współrzędnych.

Odcinek 12. Funkcje nieliniowe

Pokazujemy, że istnieją funkcje, które nie są liniowe. Przywołujemy pierwsze przykłady z tego cyklu, podajemy nowe przykłady. Wskazane jest, aby uczniowie dokończyli rozpoczęty przykład funkcji  określonej na zbiorze N, jako reszta z dzielenia przez 6. Pokazujemy, jak w układzie współrzędnych graficznie rozpoznać, który wykres przedstawia wykres funkcji, a który nie jest wykresem funkcji.